Radius eines Schwarzen Lochs

Schwarzes Loch im Zentrum der Galaxie 👉M87 [5]

Auszug aus dem 4. Teil der Podcast-Reihe Relativitätstheorie 2.0

In der Nähe eines Gravitationszentrums geht die Zeit um den Faktor gamma langsamer. Aber wie groß ist gamma? In dem gamma-Faktor, den wir bisher aus der Speziellen Relativitätstheorie kennen, steckt ja nur die Geschwindigkeit v drin, mit der sich ein Bezugssystem, relativ zu einem anderen bewegt. Aber schauen wir uns den Gamma-Faktor doch mal genauer an. Es gilt ja:

gamma=1/√(1-v2/c2)

Wobei v die Geschwindigkeit des Bezugssystems und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. Durch erweitern mit der Masse m kann man dafür aber auch schreiben:

gamma=1/√(1-mv2/mc2)

Aber mc2? Kennen wir das nicht irgendwoher? Energie = Masse?
Das ist doch die Ruheenergie eines Körpers. Und mv2? Ist das bekannt? Na Schulphysik, Nachtigall ich höre dir tapsen, das ist doch gerade 2 mal die klassische kinetische Energie 1/2 mv2. Und wie groß ist die klassische kinetische Energie, wenn irgendwo etwas herunterfällt? Na, die kinetische Energie ist dann gerade gleich der potentiellen Energie. Und diese Relation muss überall in einem Gravitationsfeld gelten, egal an welcher Stelle der Gegenstand gerade herunterfällt. Nahe der Erdoberfläche z.B. rechnen wir immer mit der konstanten Erdbeschleunigung g = 9.81m/s2. Wenn wir das aber mal aus astronomischer Sicht betrachten, dann haben wir keine konstante Erdbeschleunigung mehr, sondern ein Gravitationspotential,
das mit 1/R abnimmt, wobei R die Entfernung vom Gravitationszentrum ist. Außerdem hängt das Gravitationspotential natürlich noch von der Masse des Gravitationszentrums M ab, wobei im Folgenden das Gravitationszentrum mal die Sonne sei.
Also, das Gravitationspotential hängt von der Sonnenmasse M,
und vom Sonnenabstand R ab. Der Proportionalitätsfaktor ist die Gravitationskonstante G. Wenn man jetzt noch weiß, dass die potentielle Energie dividiert durch die Ruhemasse eines Körpers, gerade das Gravitationspotential ist, dann ist ja das Verhältnis von zwei mal potentieller Energie durch Ruhenergie gerade 2 mal Gravitationspotential durch c2. Und damit sind wir fertig: Damit erhält man für Gamma den Wert:

gamma=1/√(1-2GM/Rc2)

Wir habe jetzt also im gamma-Faktor die Geschwindigkeit v, bzw. das Quadrat davon, durch das Gravitationspotential ersetzt. Jetzt war es ja aber so, dass die Geschwindigkeit v einen maximal möglichen Wert hat, nämlich die Lichtgeschwindigkeit c. Wenn v gegen c geht, dann geht gamma gegen unendlich.
Und wie sieht es jetzt mit dem Gravitationspotential aus? Das muss doch dann auch einen maximal möglichen Wert haben? Statt v2 haben wir jetzt 2GM/R, und das darf maximal auch nur c2 groß werden. Das heißt aber, dass der Abstand zur Sonne nicht kleiner werden darf als 2GM/c2. Wenn wir uns also einem Sonnenabstand von 2GM/c2 nähern, dann geht gamma gegen undendlich, d.h. dann bleibt die Zeit stehen. Den Abstand 2GM/c2 nennt man deshalb auch den „Ereignishorizont“, oder den „Schwarzschild-Radius“. 2GM/c2 ist der Radius eines Schwarzen Lochs.

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